Mathehilfe

FRAKTALE

Vielleicht hast du dich bereits gefragt, was die merkwürdigen Formen auf unseren Flyern und hier auf unserer Homepage darstellen und was sie mit Mathematik zu tun haben. Diese Formen sind so genannte Fraktale, in diesem Fall Ausschnitte spezieller Fraktale. Wir finden, dass sie ein gutes Beispiel dafür sind, wie spannend und ästhetisch abstrakte Mathematik sein kann, wenn man sie zum Leben bringt. Eine sehr einfache Formel wird verwendet um mit dem Computer diese komplexen Strukturen zu erschaffen, die einerseits technisch und abstrakt, andererseits aber seltsam natürlich und vertraut wirken.

Was ist ein Fraktal?

Kurz gesagt ist ein Fraktal ein Objekt, das sich immer wieder selbst enthält. Wie das geht? Am besten siehst du das an einem einfachen Beispiel, dem Sierpinski-Dreieck (benannt nach seinem Entdecker):

Du kannst leicht erkennen, das ein Drittel des Dreieckes wieder genauso aussieht wie das Ganze, nur verkleinert und verschoben. Würde man also dieses Drittel vergrössern, so erhielte man wieder das Original. Da man das immer weiter machen kann, hat ein Fraktal unendlich feine Details.

Diese können natürlich nie dargestellt werden, aber sie bieten die Möglichkeit immer weiter in die Struktur hinein zu zoomen, wie du rechts sehen kannst.

Spannendere Strukturen entstehen, wenn die verkleinerten Abbilder weiter verändert werden dürfen. Beim vorherigen Beispiel wurde das Original verkleinert und verschoben. Wenn auch noch Drehungen und Spiegelungen erlaubt sind kann man Fraktale wie das Farnblatt links erhalten.

Hier siehst du, dass das Original auf den beiden Seiten des Blattes eben spiegelverkehrt ist. Das ganze ist also drei mal in sich selber enthalten: einmal links unten, einmal rechts unten gespiegelt und einmal als restliches Blatt oben. Ausserdem sind die einzelnen Teile hier (bezüglich des ganzen Blattes) gedreht.

An diesem Beispiel kannst du auch gut sehen, wie Fraktale natürlich wirken können - viele Formen in der Natur sind annähernd fraktal.

Mandelbrotmenge

Die Fraktale auf den Flyern haben auch diese Eigenschaft der Selbstähnlichkeit, sind allerdings anders entstanden. Um ihre Struktur zu verstehen musst du komplexe Zahlen kennen (lernt man in der Siebten, oder bei uns ;) ). Du weißt, dass die Multiplikation von komplexen Zahlen am besten in der Polardarstellung verstanden werden kann: werden zwei Zahlen miteinander multipliziert so werden ihre Winkel addiert und ihre Beträge multipliziert:

Wenn eine Zahl quadriert wird so heißt das, dass sie nachher den doppelten Winkel hat und ihr Betrag quadriert wird:

Alles bis hierher kennst du also schon aus der Schule.

Jetzt machen wir folgendes: wir nehmen eine komplexe Zahl, nennen wir sie c. Dann quadrieren wir sie. Zu dem Ergebnis zählen wir wieder die selbe Zahl c dazu, dann quadrieren wir wieder, zählen wieder dazu und immer so weiter. Wir bekommen also eine Folge von Zahlen, auch das kennst du schon, nur sind hier die Folgeglieder eben komplexe Zahlen. Diese Folge kann jetzt entweder einen Grenzwert haben oder nicht, wahrscheinlich hast du bei reellen Zahenfolgen schon solche Grenzwerte ausgerechnet.

Wenn jetzt auf der komplexen Zahlenebene alle Zahlen, für die diese Folge einen Grenzwert hat schwarz markiert werden, und alle anderen (für welche die Folge also ins unendliche verschwindet) weiss, so sieht das so aus:

Dieses Gebilde wird nach seinem Entdecker die Mandelbrot-Menge genannt. Im nächsten Bild wurden die aussen liegenden Punkte noch unterschiedlich gefärbt, je nach dem, wie schnell sie ins unendliche verschwunden sind:

Viele schöne Bilder von Ausschnitten dieser Menge findest du im Wiki Artikel Mandelbrot-Menge.